本文討論了如何在 OpticStudio 中對(duì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行建模和解釋。使用的分析特征是 Spot Diagram、FFT PSF 和 Huygens PSF。將討論每種工具的優(yōu)點(diǎn)，以及用于最準(zhǔn)確分析的有用特征設(shè)置。

光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù) （PSF） 是單個(gè)點(diǎn)光源產(chǎn)生的輻照度分布。（望遠(yuǎn)鏡拍攝遙遠(yuǎn)恒星的圖像就是一個(gè)很好的例子。盡管源可能是一個(gè)點(diǎn)，但圖像不是。有兩個(gè)主要原因：首先系統(tǒng)中的像差會(huì)將圖像傳播到有限的區(qū)域；其次衍射效果也會(huì)擴(kuò)散圖像，即使在沒有像差的系統(tǒng)中也是如此。

OpticStudio 有三種基本類型的 PSF 計(jì)算：幾何（無衍射）點(diǎn)列圖、基于衍射的 FFT 和 Huygens PSF。本文將討論基本理論，并就正確使用每種類型的 PSF 提供一些指導(dǎo)。

OpticStudio 中最基本的分析功能之一是點(diǎn)列圖。此功能從物空間中的單視場(chǎng)點(diǎn)發(fā)射許多光線，通過光學(xué)系統(tǒng)追跡所有光線，并繪制所有光線相對(duì)于某個(gè)公共參考的 （x， y） 坐標(biāo)。因此，點(diǎn)列圖本身就可以看作一個(gè)幾何 PSF。

這里使用的示例光學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)焦距為 50 mm 的單拋物面 F/5 反射鏡，物位于無窮遠(yuǎn)處。該系統(tǒng)是一個(gè)簡(jiǎn)化的牛頓望遠(yuǎn)鏡，包含的示例文件為 PSF_Newtonian.ZMX。以下是光學(xué)系統(tǒng)的外觀：

兩個(gè)視場(chǎng)點(diǎn)（一個(gè)在軸上，另一個(gè)呈 2 度角）的點(diǎn)列圖如下所示。

請(qǐng)注意，點(diǎn)列圖是光線落點(diǎn)的集合，每個(gè)點(diǎn)表示一條光線。光線之間沒有相互作用或干擾。點(diǎn)列圖在顯示望遠(yuǎn)鏡的幾何或光線像差的影響方面非常有效。離軸幾何 PSF 清楚地顯示了系統(tǒng)的彗差和像散。然而在軸上，點(diǎn)列圖預(yù)測(cè)了完美的成像。但這是否準(zhǔn)確代表了光學(xué)系統(tǒng)的性能？為了回答點(diǎn)列圖結(jié)果的這個(gè)問題，我們需要將點(diǎn)列分布與衍射極限響應(yīng)進(jìn)行比較。

將幾何像差與衍射極限進(jìn)行比較的一種快速方法是在點(diǎn)列圖中添加艾里斑參考橢圓。打開?設(shè)置?并選擇?顯示 Airy Disk。

對(duì)于軸上視場(chǎng)而言，光斑比艾里斑小得多，而在軸外光斑則比艾里斑尺寸大得多。這表明點(diǎn)列圖是一個(gè)有用且合理的離軸性能指標(biāo)。為了在軸上和軸外計(jì)算更精確的PSF，需要考慮衍射。

一般來說，如果像差與系統(tǒng)的衍射極限性能相比較大，則點(diǎn)列圖是最實(shí)用的成像性能評(píng)估工具。

大多數(shù)光學(xué)成像系統(tǒng)都滿足 FFT PSF 算法使用的 Fraunhofer 衍射理論所需的簡(jiǎn)化假設(shè)。主要假設(shè)是：

光學(xué)系統(tǒng)的 FFT PSF 計(jì)算如下：光線網(wǎng)格從光源點(diǎn)到出瞳進(jìn)行追跡。對(duì)于每條光線，振幅和光程差用于計(jì)算波前網(wǎng)格在出瞳處的復(fù)振幅分布。然后對(duì)這個(gè)網(wǎng)格的 FFT 進(jìn)行適當(dāng)縮放，以產(chǎn)生實(shí)際值的 PSF。如果計(jì)算是多色的，則 PSF 的總和是不連貫的。

要計(jì)算序列系統(tǒng)的 FFT PSF，請(qǐng)選擇?Analyze...PSF...FFT PSF?，牛頓望遠(yuǎn)鏡示例文件的軸上場(chǎng)點(diǎn)的 FFT PSF 樣本如下所示。請(qǐng)注意，這些設(shè)置已從默認(rèn)設(shè)置修改而來，稍后將對(duì)此進(jìn)行討論。

請(qǐng)注意熟悉的 Airy Disk 形狀。這是該示例文件的預(yù)期結(jié)果，即軸上視場(chǎng)點(diǎn)無像差。要生成上圖，F(xiàn)FT PSF 設(shè)置對(duì)話框應(yīng)如下所示：

采樣是指追跡到入瞳的光線網(wǎng)格密度。在內(nèi)部，OpticStudio 將網(wǎng)格的大小加倍，用零值數(shù)據(jù)填充入瞳之外的區(qū)域。由于這種加倍，輸出 PSF 始終位于點(diǎn)數(shù)是采樣網(wǎng)格兩倍的網(wǎng)格上。如果像差相當(dāng)小，則考察區(qū)域集中在繪圖中心附近。與其繪制所有這些接近零的振幅點(diǎn)，不如選擇顯示網(wǎng)格小于計(jì)算的總網(wǎng)格。

有多種方法可以顯示相同的基礎(chǔ) PSF 數(shù)據(jù)。嘗試下面顯示的設(shè)置。

注意 “顯示”為 128 x 128，“視場(chǎng)”為 2，“類型”為“Log”，并且“顯示為”設(shè)置為“偽彩色”。以下是生成的 PSF：

從概念上講，Huygens PSF 是通過將點(diǎn)列圖上的每條光線轉(zhuǎn)換為小平面波來計(jì)算的?；叵胍幌?，光線對(duì)平面波的一小部分進(jìn)行建模，并且光線在各向同性介質(zhì)中局部垂直于波前。平面波的振幅、相位和方向由與產(chǎn)生它的光線相關(guān)的數(shù)據(jù)確定。像面上任何點(diǎn)的總輻照度可以通過追跡所有光線所表示的所有平面波相干求和來確定?；谘苌涞?PSF 是由所有光線的這種積分直接給出的。

雖然 OpticStudio 中的大多數(shù)衍射分析都假設(shè)適用標(biāo)量衍射理論（F/# 不是太?。?，但如果啟用“使用偏振”開關(guān)，Huygens方法可以解釋電場(chǎng)的矢量性質(zhì)。所有基于惠更斯的分析都考慮了全偏振矢量和偏振相位像差。這些計(jì)算的工作原理是分別計(jì)算極化電場(chǎng)的 Ex、Ey 和 Ez 分量的數(shù)據(jù)，然后將結(jié)果不連貫地求和。在電場(chǎng)的每個(gè)正交分量中感應(yīng)的極化相位像差被視為任何其他相位像差。

幾乎所有成像系統(tǒng)都滿足計(jì)算Huygens PSF 所需的簡(jiǎn)化假設(shè)。然而，Huygens PSF 的準(zhǔn)確計(jì)算更需要足夠的采樣。

Huygens PSF 不是基于 FFT 的。最終結(jié)果是Huygens PSF 通常比 FFT PSF 慢，但對(duì)于 FFT PSF 假設(shè)不適用的情況更準(zhǔn)確。FFT PSF 假設(shè)有問題，因此應(yīng)使用惠更斯 PSF 的一些常見情況是：

• 像面相對(duì)于主光線明顯傾斜

• 出瞳相對(duì)于入瞳明顯失真

光學(xué)系統(tǒng)的Huygens PSF 計(jì)算如下。光線網(wǎng)格從光源點(diǎn)追跡到像面。對(duì)于每條光線，振幅、坐標(biāo)、方向余弦和光程差用于計(jì)算入射到像空間網(wǎng)格上每個(gè)點(diǎn)的平面波的復(fù)振幅。在像空間網(wǎng)格中的每個(gè)點(diǎn)執(zhí)行所有光線的相干求和。像空間網(wǎng)格中每個(gè)點(diǎn)強(qiáng)度是所生成的復(fù)振幅和的平方。如果計(jì)算是多色的，則 PSF 的總和是不連貫的。

要計(jì)算序列模式系統(tǒng)的 Huygens PSF，請(qǐng)選擇?Analyze...PSF ...Huygens PSF?。Huygens PSF 也可以計(jì)算非序列 NSC系統(tǒng)，這將在后面討論。請(qǐng)注意，無法為 NSC 系統(tǒng)計(jì)算 FFT PSF。

Huygens PSF 的用戶可定義關(guān)鍵參數(shù)是光瞳采樣、像面采樣和 Image Delta。這些參數(shù)可以在 Huygens PSF 設(shè)置對(duì)話框中設(shè)置。打開?Settings（設(shè)置）并更改?Pupil Sampling、Image Sampling和?Image Delta，如下所示。

Image Delta 是以微米為單位的像點(diǎn)間距。計(jì)算 PSF 的區(qū)域的總大小是 Image Delta 和 Image Sampling 的乘積。這是同一牛頓望遠(yuǎn)鏡示例在軸上的Huygens PSF：

在?Settings?中，通過指定?Field:2，我們可以看到 PSF 在離軸時(shí)顯示如下。

光線和像點(diǎn)的數(shù)量越多，生成的 PSF 的分辨率和精度就越高，但代價(jià)是計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)。

可視化此積分過程的一種方法是觀察一次一條光線的相干求和的效果。這可以通過 OpticStudio 的非序列元件功能中的相干探測(cè)器來實(shí)現(xiàn)。從提供的文章示例文件中，打開?HPSF_Integration.ZMX。

此文件由橢圓光源、單透鏡和 Detector Rectangle 對(duì)象組成。光源在圓形區(qū)域上生成隨機(jī)光線。所有光線都平行于局部 Z 軸射出，即光源為準(zhǔn)直源或遠(yuǎn)距離點(diǎn)光源。請(qǐng)注意，布局光線的數(shù)量設(shè)置為 20，而分析光線的數(shù)量設(shè)置為 1。后一種設(shè)置將允許一次追跡一條光線，稍后將對(duì)此進(jìn)行討論。透鏡是一個(gè)簡(jiǎn)單的單透鏡，放置以使準(zhǔn)直光線很好地聚焦在探測(cè)器上。檢測(cè)器被定義為具有 120 x 120 像素的吸收器。

請(qǐng)注意，Detector Rectable Parameter 11 的 PSF Wave # 設(shè)置為 1。

這種特殊模式允許探測(cè)器執(zhí)行相干的Huygens PSF 積分。到達(dá)探測(cè)器的每條光線都會(huì)轉(zhuǎn)換為局部平面波，照亮探測(cè)器上的每個(gè)像素，并且每個(gè)像素處平面波的相干振幅將添加到已檢測(cè)到的相干振幅中。如果需要，一次追跡一條光線，以便可以看到對(duì)單個(gè)光線求和的效果。

要查看此積分過程，請(qǐng)打開示例文件?HPSF_Integration.ZMX，然后選擇?Analyze...Detector Viewer。在 Detector Viewer 的設(shè)置中，啟用?Auto Update。要追跡光線以進(jìn)行分析，請(qǐng)通過轉(zhuǎn)到?Analyze...Ray Trace，然后選擇Clear and Trace。由于光源僅定義 1 條分析光線，因此將追跡一條隨機(jī)光線并更新探測(cè)器。單擊 Trace only （僅追跡，不會(huì)清除探測(cè)器數(shù)據(jù)） 以追跡第二條光線?，F(xiàn)在追跡的兩條光線將像兩個(gè)平面波一樣相干干涉，彼此成一定角度，從而在探測(cè)器上產(chǎn)生條紋圖案。因?yàn)楣饩€是隨機(jī)的，所以條紋圖案每次都會(huì)不同，因此看起來不會(huì)與下圖完全相同。

每次在 Ray Trace 對(duì)話框中按下 Trace 時(shí)，都會(huì)向 Detector Viewer 中顯示的總和添加另一條光線。追蹤 10 條光線后，衍射 PSF 開始出現(xiàn)。

大約 40 條光線后，可以看到艾里環(huán)等特征的形成。

需要幾百條光線才能合理地收斂到最終的 PSF 結(jié)果。

一次追跡一條光線的唯一原因是可視化正在如何積分。要一次追跡多條光線，請(qǐng)導(dǎo)航到非序列元件編輯器 NSCE，然后將橢圓光源物體上的分析光線數(shù)量從 1 更改為 500。

現(xiàn)在重新打開光線追跡控制并按下清除和追跡。將一次追跡所有 500 條光線，生成的 PSF 將顯示在 Detector Viewer 窗口中。

即使光線是隨機(jī)選擇的，PSF 也會(huì)收斂到正確的艾里圖案（請(qǐng)注意，這個(gè)特定的鏡頭是受衍射限制的）。

總結(jié)：何時(shí)使用點(diǎn)列圖、FFT PSF 和 Huygens PSF

在以下情況下使用點(diǎn)列圖：

• 與衍射效應(yīng)相比，幾何像差很大。這可以使用點(diǎn)列圖上的艾里斑縮放選項(xiàng)進(jìn)行檢查。

在以下情況下使用 FFT PSF：

• 主光線相對(duì)于像面法線形成一個(gè)小角度;

• 出瞳相對(duì)于入瞳沒有明顯失真;

• 速度比絕對(duì)精度更重要。

在以下情況下使用 Huygens PSF：

• 需要最高的準(zhǔn)確性。

引用

1. Goodman, Joseph W., Introduction to Fourier Optics, McGraw Hill

2. OpticStudio Help System Zemax LLC, Kirkland, Washington, United States